综合与实践
如图$1$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle B=90^{\circ}$,$AB=4$,$BC=2$,点$D$、$E$分别是边$BC$、$AC$的中点,连结$DE$,将$\triangle CDE$绕点$C$逆时针方向旋转,旋转角为$\alpha$.
$(1)$观察发现
①当$\alpha =0^{\circ}$时,$\frac{AE}{BD}= \_\_\_\_\_\_;$②当$\alpha =180^{\circ}$时,$\frac{AE}{BD}= \_\_\_\_\_\_.$
$(2)$探究迁移
当$0^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 360^{\circ}$时,请仅就图$2$的情形解决下列问题:
①试判断$\frac{AE}{BD}$的大小有无变化并说明理由；
②若直线$BD$与直线$AE$相交于点$F$,设直线$BD$与直线$AE$所夹锐角为$\beta$,求$\tan \beta$的值.
$(3)$拓展应用
当$\triangle CDE$绕点$C$逆时针方向旋转至$A$、$B$、$E$三点在同一条直线上时,请直接写出线段$BD$的长.