如图$1$,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=75^{\circ}$,$\angle ACB=35^{\circ}$,$\angle ABC$的平分线$BD$交边$AC$于点$D$.
$(1)$求证:$\triangle BCD$为等腰三角形；
$(2)$若$\angle BAC$的平分线$AE$交边$BC$于点$E$,如图$2$,求证:$BD+AD=AB+BE$；
$(3)$若$\angle BAC$外角的平分线$AE$交$CB$延长线于点$E$,请你探究（2）中的结论是否仍然成立?若不成立直接写出正确的结论.