如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AC=6$,$BC=8$,点$D$为$AB$的中点,过点$D$作$DE$∥$BC$交$AC$于点$E$,动点$P$以每秒$1$个单位长度的速度从点$A$出发,沿着折线$A\rightarrow D\rightarrow E(含端点)$运动,到达$E$点停止运动,过点$P$作$PQ$∥$BC$交$AC$于点$Q$.设点$P$的运动时间为$x$秒,$PQ$的长度为$y_{1}$,请解答下列问题:
$(1)$直接写出$y_{1}$关于$x$的函数关系式,并写出$x$的取值范围；
$(2)$在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出该函数的一条性质；
$(3){y}_{2}=\frac{5}{x}$的函数图象如图所示,当$y_{1}\geqslant y_{2}$时,请直接写出$x$的取值范围.(结果保留一位小数,误差不超过$0.2)$