如图,在$Rt\triangle ABC$,$\angle ABC=90^{\circ}$,该三角形的三个顶点均在坐标轴上.二次函数$y=ax^{2}+bx+c$过$A\left(-1,0\right)$,$B\left(0,2\right)$,$C\left(4,0\right)$.
$(1)$求二次函数的解析式；
$(2)$点$P$为该二次函数第一象限上一点,当$\triangle BCP$的面积最大时,求$P$点的坐标；
$(3)M$为二次函数上一点,$N$为$x$轴上一点,当$B$、$C$、$M$、$N$成的四边形是平行四边形时,直接写出$N$的坐标.