如图$1$,已知抛物线与$x$轴交于$A\left(-1,0\right)$,$B\left(3,0\right)$两点,与$y$轴交于点$C\left(0,3\right)$.

$(1)$求该抛物线所对应的函数关系式；
$(2)E$是线段$BC$上的一个动点（与点$B$、$C$不重合）,过点$E$作$ED\bot x$轴于点$D$,交抛物线于点$F$.
①求$\triangle CEF$的边$CE$上的高的最大值；
②在这条抛物线上是否存在点$F$,使得以$F$、$E$、$C$为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,请求出所有符合条件的点$F$的坐标；若不存在,说明理由；
③如图$2$,在①的条件下,在$x$轴上是否存在点$G$,使得$EG+\frac{1}{2}AG$的值最小?若存在,请求出这个最小值；若不存在,请说明理由.