如图①，已知：在矩形$ABCD$的边$AD$上有一点$O$，$OA=\sqrt{3}$，以$O$为圆心，$OA$长为半径作圆，交$AD$于$M$，恰好与$BD$相切于$H$，过$H$作弦$HP/\!/AB$，弦$HP=3.$若点$E$是$CD$边上一动点$($点$E$与$C$，$D$不重合$)$，过$E$作直线$EF/\!/BD$交$BC$于$F$，再把$\triangle CEF$沿着动直线$EF$对折，点$C$的对应点为$G.$设$CE=x$，$\triangle EFG$与矩形$ABCD$重叠部分的面积为$S.$
$(1)$求证：四边形$ABHP$是菱形；
$(2)$问$\triangle EFG$的直角顶点$G$能落在$⊙O$上吗？若能，求出此时$x$的值；若不能，请说明理由；
$(3)$求$S$与$x$之间的函数关系式，并直接写出$FG$与$⊙O$相切时，$S$的值.