爱思考的小候同学在学习因式分解的课上因为走神,没能听到刘老师讲的十字相乘法,因为害怕批评,小侯同学不敢去问刘老师,于是对于使用十字相乘法因式分解的题目,进行了如下研究:
对多项式$x^{2}+6x+8$进行因式分解,小侯同学通过观察发现,这个多项式的前两项与完全平方公式相似,于是他将整个多项式$+1-1$,使得多项式变为:$x^{2}+6x+9-1$；
随后他先使用完全平方公式变形得到:$\left(x+3\right)^{2}-1$；
再次通过观察,他发现$1$可以理解为$1^{2}$,此时借由平方差公式,可以将这个代数式变为:$\left(x+3-1\right)\left(x+3+1\right)=\left(x+2\right)\left(x+4\right)$.
经过验证,所得答案确实为原多项式因式分解的结果,请你按照小侯同学的步骤解决一下问题:
$(1)$因式分解:$x^{2}+5x+6$；
$(2)$因式分解:$x^{2}+\left(m+n\right)x+mn$.