已知点$P$、$C$、$Q$在数轴上对应的数为$-16$、$20$、$40$.
$(1)$如图①,动点$D$从点$P$以每秒$2$个单位的速度向数轴的正方向运动,到达点$A$时方向不变,速度变为每秒$3$个单位；动点$E$从点$Q$开始以每秒$4$个单位的速度向数轴的负方向运动,到达点$C$时方向不变,速度变为每秒$2$个单位,点$D$、点$E$两点同时开始运动.
①当运动______秒时,点$D$与点$E$相遇；
②当点$D$与点$E$的距离是$6$时,请求出运动的时间.
$(2)$如图②,线段$MQ$的长度为$4($点$M$在点$Q$左侧),线段$PN$的长度为$6($点$N$在点$P$右侧).若$PN$从点$P$出发（运动后为${P\’}{N\’})$,以每秒$2$个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动,同时$MQ$从点$Q$出发（运动后为${M\’}{Q\’})$,以每秒$4$个单位的速度沿着数轴的负方向运动；当点${N\’}$运动到点$A$时,线段${P\’}{N\’}$立即以原来速度的$2$倍继续沿数轴正方向运动,当点${N\’}$运动到点$C$时,线段${P\’}{N\’}$变为原速继续向正方向运动,当点${N\’}$与点$Q$重合时运动停止；当点${M\’}$运动到点$C$时,线段${M\’}{Q\’}$的速度变为原来的$\frac{5}{4}$,当点${M\’}$运动到点$A$时,线段${M\’}{Q\’}$变为原速返回至初始位置停止运动.设${M\’}{Q\’}$出发的时间为$t$秒,在整个运动过程中,是否存在时间$t$使两条线段重叠部分的长度为$3$,若存在,请求出$t$的值；若不存在,请说明理由.