抛物线$C_1:y=x^2-2x-8$.交$x$轴于$A$,$B$两点$(A$在$B$的左边）,交$y$轴于点$C$.
$(1)$直接写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
$(2)$如图$\left(1\right)$,作直线$x=t\left(0 \lt t \lt 4\right)$,分别交$x$轴,线段$BC$,抛物线$C_{1}$于$D$,$E$,$F$三点,连接$CF$,若$\triangle BDE$与$\triangle CEF$相似,求$t$的值；
$(3)$如图（2）,将抛物线$C_{1}$平移得到抛物线$C_{2}$,其顶点为原点.直线$y=2x$与抛物线交于$O$,$G$两点,过$OG$的中点$H$作直线$MN($异于直线$OG)$交抛物线$C_{2}$于$M$,$N$两点,直线$MO$与直线$GN$交于点$P$.问点$P$是否在一条定直线上?若是,求该直线的解析式；若不是,请说明理由.