已知数轴上两点$A$、$B$对应的数分别为$-2$、$10$,点$P$为数轴上一动点,其对应的数为$x$.
$(1)$当$x=15$时,求点$P$到点$A$、点$B$的距离的和；
$(2)$当点$P$到点$A$、点$B$的距离之和为$16$时,求$x$的值；
$(3)$若点$A$以$2$个单位长度$/$秒向右运动、点$B$以$1$个单位长度$/$秒的速度同时向左运动,点$P$以$6$个单位长度$/$秒的速度同时从$O$点向左运动,当点$P$与点$A$相遇时立即以原速返回,与点$B$相遇时又立即返回,如此反复,当点$A$与点$B$重合时,求点$P$所运动的路程；
$(4)$借助于此数轴,若$\left(|y+1|+|y-2|\right)\left(|x-10|+|x+2|\right)=36$,则$2xy$的最小值为______.