如图$1$，▱$ABCD$中，$∠DAB=60°$，$AB=6$，$BC=2$，$P$为边$CD$上的一动点，设$PB+\dfrac{\sqrt{3}}{2}PD$的值为$a$，如图$2$，$⊙O$是正方形$ABCD$的内切圆，$AB=4$，点$P$是$⊙O$上一个动点，设$AP+\dfrac{\sqrt{2}}{2}DP$的值为$b$，如图$3$，$MN=4$，$∠M=75°$，$MG=3.$点$O$是$\triangle MNG$内一点，设点$O$到$\triangle MNG$三个顶点的距离和的值为$c$，则$a^{2}+b^{2}+c^{2}$的最小值为______.