如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数图象$y=2x+2$与反比例函数的图象的一个交点为$A\left(a,4\right)$,另一个交点为点$B$.
$(1)$求点$A$的坐标及反比例函数的表达式；
$(2)$若点$C$在反比例函数第一象限的图象上,且$\triangle ABC$的面积为$6$,求点$C$的坐标；
$(3)P$是第二象限内一点,连接$PA$,$PB$,以$P$为位似中心画$\triangle PDE$,使它与$\triangle PAB$位似,相似比为$\frac{3}{2}$.若点$D$,$E$恰好都落在反比例函数图象上,求出点$D$,$E$的坐标.