已知数轴上有$A$、$B$、$C$三个点,分别表示有理数$-12$、$9$、$20$,动点$P$从点$A$出发,以每秒$2$个单位长度的速度向右移动.设移动时间为$t$秒,如图$1$,若用$PA$、$PB$、$PC$分别表示点$P$与点$A$、点$B$、点$C$之间的距离,试回答以下问题:

$(1)$当点$P$运动$5$秒时,$PA=$______,$PB=$______,$PC= \_\_\_\_\_\_.$
$(2)$当点$P$运动了$t$秒时,请用含$t$的代数式表示点$P$与点$A$、点$B$、点$C$之间的距离:$PA=$______,$PB=$______,$PC= \_\_\_\_\_\_.$
$(3)$经过几秒后,点$P$到点$A$、点$C$的距离相等?此时点$P$表示的数是多少?
$(4)$如图$2$,当动点$P$从点$A$出发以$2$单位$/$秒的速度向右运动,同时点$Q$从点$C$出发,以$1$个单位$/$秒速度向左运动.$O$、$B$两点之间为"变速区",规则为从点$O$运动到点$B$期间速度变为原来的一半,之后立刻恢复原速,从点$B$运动到点$O$期间速度变为原来的$3$倍,之后立刻恢复原速.是否存在符合条件的$t$,使$P$、$Q$两点到点$B$的距离相等?若存在,请直接写出$t$的值；若不存在,请说明理由.