在平面直角坐标系中,$O$为坐标原点,$A$,$D$两点坐标分别为$A\left(0,a\right)$,$D\left(b,b\right)$,且$a-b=\sqrt{5-b}+\sqrt{3b-15}$.
$(1)$求$A$,$D$两点坐标；
$(2)$点$B$,$C$是$x$轴上两动点$(B$在$C$左侧）,且使四边形$ABCD$为平行四边形.
①如图,当点$B$,$C$分别在原点两侧时,连接$DO$,过点$O$作$OG\bot DO$交$AB$于点$G$,连接$DG$,取$DG$中点$H$,在$DO$上截取$DE$,使$DE=GO$,求证:$4AH^{2}+DE^{2}=2AE^{2}$；
②当点$B$在原点左侧时,过点$O$的直线$MN\bot AB$,分别交$AB$,$CD$于$M$,$N$,试探究$OM$,$BM$,$CN$三条线段之间的数量关系.