如图$1$,在$\triangle COP$中,点$B$是$PC$边上一点,连接$OP$,$PO\bot CO$.
$(1)$填空:$\angle POB+\angle PBO-\angle C=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$；
$(2)$填空:如图$2$,点$A$在$PO$上,连接$AB$,若$AB=BO$,则$\angle POB+\angle C-\angle PBA=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$；
$(3)$如图$3$,在（2）的条件下,点$D$在$AB$上,点$E$在$CO$延长线上,点$F$在$CO$上,连接$DE$、$AF$交于点$M$,连接$PM$、$PE$,若$\triangle ABO$的面积为$15$,$OE=OA=5$,$\angle BAF=\angle MPE$,$2\angle DEO=\angle FAO+\angle MPA$,$OF=\frac{7}{2}$,求$OC$的长.