法国数学家费尔马早在$17$世纪就研究过形如$x ^{2} +y ^{2} =z ^{2}$的关系式，显然，满足这个关系式的$x$，$y$，$x$有无数组．当$x$，$y$，$x$都为正整数时，我们把这样的三个数$x$，$y$，$z$叫做勾股数．如，$3$，$4$，$5$就是一组勾股数．
$(1)$请你再写出两组勾股数：______，______；
$(2)$古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果$n$表示大于$1$的整数，$x=2n$，$y=n ^{2} -1$，$z=n ^{2} +1$，那么，$x$，$y$，$z$为勾股数，请你加以证明．