如图$1$,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$l_{2}$:$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{4\sqrt{3}}{3}$与$x$轴交于点$B$,与直线$l_{1}$:$y=kx+b$交于点$C$,$C$点到$x$轴的距离$CD$为$2\sqrt{3}$,直线$l_{1}$交$x$轴于点$A$,$\angle CAB=60^{\circ}$.
$(1)$求直线$l_{1}$的函数表达式；
$(2)$如图$2$,点$P$为线段$AB$上一点,将$\triangle ACP$沿$CP$折叠后,点$A$恰好落在$BC$边上,求$P$点坐标；
$(3)$如图$3$,将$\triangle ACB$绕点$B$逆时针方向旋转$60^{\circ}$,得到$\triangle BGH$,使点$A$与点$H$对应,点$C$与点$G$对应,将$\triangle BGH$沿着直线$BC$平移,点$M$为直线$AC$上的动点,是否存在以$C$、$O$、$M$、$G$为顶点的平行四边形?若存在,请直接写出点$M$的坐标；若不存在,请说明理由.