图$1$是某型号挖掘机,该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成.图$2$是某种工作状态下的侧面结构示意图$(MN$是基座的高,$MP$是主臂,$PQ$是伸展臂$,EM$∥$QN).$已知基座高度$MN$为$1m$,主臂$MP$长为$5m$,测得主臂伸展角$\angle PME=37^{\circ}$.
$($参考数据:$sin37°≈\frac{3}{5},tan37°≈\frac{3}{4},sin53°≈\frac{4}{5},tan53°≈\frac{4}{3})$.

$(1)$求点$P$到地面的高度；
$(2)$当挖掘机挖到地面上的点$Q$时,$\angle MPQ=113^{\circ}$,求$QN$.