如图$1$，矩形$ABCD$中，$P$，$Q$两动点同时从点$B$出发，点$P$沿$BA→AD$以$2cm/s$的速度向终点$D$匀速运动，点$Q$沿$BC→CD$以$\dfrac{3}{2}cm/s$的速度向终点$D$匀速运动，当一个点到达终点时另一个点也停止运动．设点$P$的运动时间为$t(s)$，$\triangle BPQ$的面积为$S(cm^{2}).$当点$P$运动到如图$2$所示的位置时，点$Q$与点$C$重合，$AB=AP$，$BP=4\sqrt{2}$，$CP=2\sqrt{5}.$
$(1)$求$AB$、$AD$的长；
$(2)$求$S$关于$t$的函数解析式，并直接写出自变量$t$的取值范围．