阅读材料:各类方程的解法
求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为$x=a$的形式.求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解；类似的,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于"去分母"可能产生增根,所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想$--$转化,把未知转化为已知.
用"转化"的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程$x^{3}+x^{2}-2x=0$,可以通过因式分解把它转化为$x(x^{2}+x-2)=0$,解方程$x=0$和$x^{2}+x-2=0$,可得方程$x^{3}+x^{2}-2x=0$的解.
$(1)$问题:方程$x^{3}+x^{2}-2x=0$的解是$x_{1}=0$,$x_{2}=$______,$x_{3}=$______；
$(2)$拓展:用"转化"思想求方程$\sqrt{2x+3}=x$的解；
$(3)$应用:如图,已知矩形草坪$ABCD$的长$AD=8m$,宽$AB=3m$,小华把一根长为$10m$的绳子的一端固定在点$B$,沿草坪边沿$BA$,$AD$走到点$P$处,把长绳$PB$段拉直并固定在点$P$,然后沿草坪边沿$PD$、$DC$走到点$C$处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点$C$.求$AP$的长.