通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题:
【模型呈现】
$(1)$如图$1$,$\angle ACE=90^{\circ}$,$AC=CE$,过点$A$作$AB\bot BC$于点$B$,过点$E$作$ED\bot BC$交$BC$的延长线于点$D$.由$\angle ACB+\angle DCE=\angle DCE+\angle E=90^{\circ}$,得$\angle ACB=\angle E$.又$\angle ABC=\angle CDE=90^{\circ}$,$AC=CE$,可以推理得到$\triangle ABC$≌$\triangle CDE,$进而得到$AB=\_\_\_\_\_\_,BC=\_\_\_\_\_\_.(请完成填空)$我们把这个数学模型称为"$K$字"模型或"一线三等角"模型.
【模型应用】
$(2)$①如图$2$,$\angle ACE=\angle BCD=90^{\circ}$,$AC=CE$,$BC=CD$,连接$AB$、$DE$,且$ED\bot CG$于点$G$,$AB$与直线$CG$交于点$F$,求证:点$F$是$AB$的中点；
②如图$3$,若点$M$为$x$轴上一动点,点$N$为$y$轴上一动点,点$P$的坐标为$\left(5,1\right)$,是否存在以$M$、$N$、$P$为顶点且以$PM$为斜边的三角形为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点$M$的坐标；若不存在,请说明理由.