如图,$\triangle ABC$在平面直角坐标系中,点$B$是$x$轴负半轴上的一个动点,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=AC$,$A$的坐标是$\left(0,2\right)$,$B$的坐标是$\left(m,0\right)$.
$(1)$如图$1$所示,若点$C$在$x$轴上,则点$m$的值是______；
$(2)$如图$2$,当点$B$在$x$轴上移动时,$AC$与$x$轴交于点$D$,$BC$与$y$轴交于点$E$.
①小明发现点$C$的横坐标始终不变,证明小明发现的结论；
②若点$D$是$AC$的中点时,请求出点$E$的坐标.