如图①,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=BC$,过点$C$在$\triangle ABC$外作直线$MN$,$AM\bot MN$于点$M$,$BN\bot MN$于点$N$.
$(1)$求证:$MN=AM+BN$；
$(2)$如图②,若过点$C$作直线$MN$与线段$AB$相交,$AM\bot MN$于点$M$,$BN\bot MN$于点$N\left(AM \gt BN\right)$,$\left(1\right)$中的结论是否仍然成立?若不成立,请写出正确的结论,并说明理由.