如图,抛物线$y=ax^{2}+bx+3\left(a\neq 0\right)$与$x$轴交于$A\left(-2,0\right)$,$B\left(4,0\right)$两点,与$y$轴交于点$C$,点$P$是抛物线在第二象限内的一个动点,连接$PC$,$PB$,设点$P$的横坐标为$m.\left(1\right)$求抛物线的函数表达式；
$(2)$请用含$m$的代数式表示$\triangle PBC$的面积；
$(3)$当$\triangle PBC$的面积为$\frac{15}{4}$时,求点$P$的坐标.