阅读探索：解方程组$\begin{cases}{(a-1)+2(b+2)=6}\\ {2(a-1)+(b+2)=6}\end{cases}.$
解：设$a-1=x$，$b+2=y$，原方程组可化为$\begin{cases}{x+2y=6}\\ {2x+y=6}\end{cases}$解得$\begin{cases}{x=2}\\ {y=2}\end{cases}$即$\begin{cases}{a-1=2}\\ {b+2=2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}{a=3}\\ {b=0}\end{cases}$，此种方法叫换元法，根据上述材料，解决下列问题：
$(1)$运用换元法解求关于$a$，$b$的方程组：$\begin{cases}(\dfrac{a}{4}-1)+2(\dfrac{b}{3}+2)=4\\ 2(\dfrac{a}{4}-1)+(\dfrac{b}{3}+2)=5\end{cases}$的解；
$(2)$若关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}{a_{1}x+b_{1}y=c_{1}}\\ {a_{2}x+b_{2}y=c_{2}}\end{cases}$的解为$\begin{cases}{x=10}\\ {y=6}\end{cases}$，求关于$m$，$n$的方程组$\begin{cases}{5a_{1}(m-3)+3b_{1}(n+2)=c_{1}}\\ {5a_{2}(m-3)+3b_{2}(n+2)=c_{2}}\end{cases}$的解．