已知抛物线$y=ax^{2}$经过点$(2,-8).$

$(1)$画出$y=ax^{2}$的图象；

$(2)$将上述抛物线向下平移$3$个单位，画出平移后的抛物线并求所得抛物线的函数表达式；

$(3)$若点$A$为抛物线$y=ax^{2}$上一点，直线$AB$垂直于$x$轴，线段$AB=5$，沿$y$轴平移抛物线$y=ax^{2}$使之过点$B$，求平移后所得抛物线的函数表达式．