如图,在正方形$ABCD$中,点$E$是对角线$BD$上一点,连接$EA$,将线段$EA$绕点$E$逆时针旋转,使点$A$落在射线$CB$上的点$F$处,连接$EC$.
【问题引入】
$(1)$请你在图$1$或图$2$中证明$EF=EC(选择一种情况即可)$；
【探索发现】
$(2)$在（1）中你选择的图形上继续探索:延长$FE$交直线$CD$于点$M$.将图形补充完整,猜想线段$DM$和线段$BF$的数量关系,并说明理由；
【拓展应用】
$(3)$如图$3$,$AB=3$,延长$AE$至点$N$,使$NE=AE$,连接$DN$.当$\triangle ADN$的周长最小时,请你直接写出线段$DE$的长.
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