小明在学习完"等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合",继续探索,他猜想"如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线,那么这个三角形是等腰三角形"并进行证明.
已知:如图,在$\triangle ABC$中,$AD$平分$\angle BAC$,$D$为$BC$中点.
求证:$\triangle ABC$是等腰三角形.

小明的证法:如图,过点$D$作$DE\bot AB$,$DF\bot AC$,垂足为点$E$、$F$. $\because DE\bot AB$,$DF\bot AC$, $\therefore \angle BED=\angle CFD=90^{\circ}$. $\because$①______,$DE\bot AB$,$DF\bot AC$, $\therefore DE=DF$. $\because D$为$BC$中点, $\therefore BD=CD$. 在$Rt\triangle BED$和$Rt\triangle CFD$中,$\angle BED=\angle CFD=90^{\circ}$, $\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$, $\therefore Rt\triangle BED$≌$Rt\triangle CFD\left(HL\right).$ $\therefore$②______. $\therefore AB=AC$. $\therefore \triangle ABC$是等腰三角形.

请把小明的证法补充完整,并用不同的方法完成证明.