《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径．恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．
如：当$x=\sqrt{3}+1$时，求$\dfrac{1}{2}x^{3}-x^{2}-x+2$的值．若直接把$x=\sqrt{3}+1$代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．
方法：将条件变形，因$x=\sqrt{3}+1$，得$x-1=\sqrt{3}$，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．
由$x-1=\sqrt{3}$平方得$(x-1)^{2}=3$，整理可得：$x^{2}-2x=2$，即$x^{2}=2x+2.$
所以$\dfrac{1}{2}x^{3}-x^{2}-x+2=\dfrac{1}{2}x(2x+2)-x^{2}-x+2=x^{2}+x-x^{2}-x+2=2.$
请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：
$(1)$若$x=\sqrt{2}-1$，则$(x+1)^{2}=$______，$x^{3}+2x^{2}-x+2=$______；
$(2)$若$a^{2}-3a+1=0$，求$2a^{3}-5a^{2}+6+\dfrac{3}{a^{2}+1}$的值．