如图①,有一组平行线$l_{1}$∥$l_{2}$∥$l_{3}$∥$l_{4}$,正方形$ABCD$的四个顶点分别在$l_{1}$、$l_{2}$、$l_{3}$、$l_{4}$上,$EG$过点$D$且垂直于$l_{1}$于点$E$,分别交$l_{2}$、$l_{4}$于点$F$、$G$,$EF=DG=1$,$DF=2$.

$(1)AE=$______,正方形$ABCD$的边长$=$______；
$(2)$如图②,将$\angle AED$绕点$A$顺时针旋转$\alpha ^{\circ}$得到$\angle AE\’{D\’}$,且$0^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 90^{\circ}$,点${D\’}$在直线$l_{3}$上,以$AD\’$为边在${E\’}{D\’}$左侧作菱形$AD\’{C\’}{B\’}$,使点${B\’}$、${C\’}$分别在直线$l_{2}$、$l_{4}$上.
①写出$\angle {B\’}AD\’$与$\alpha$的函数关系并给出证明；
②若$\alpha =30^{\circ}$,求菱形$AD\’{C\’}{B\’}$的边长.