如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$D$在$AB$边上,$E$在$AC$边上,连接$EB$、$CD$,点$G$为$BE$上一点且满足$GA=GB$.
$(1)$如图$1$,若$BE$平分$\angle ABC$,$BC=10$,$AG=\frac{3\sqrt{5}}{2}$,$CE=5$,求$\triangle ABC$的面积；
$(2)$如图$2$,若$BD=CE$,取$CD$中点为$F$,连接$FG$,求证:$CE=\sqrt{2}FG$；
$(3)$如图$3$,在（1）的条件下,点$F$为直线$AC$上一点,连接$BF$,若$CF=2BD$,则$CD+\frac{1}{2}BF$最小时,直接写出$S_{\triangle ADG}$的值.