综合与实践
在学习特殊四边形的过程中,我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验,对"等对角四边形"进行研究.定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做"等对角四边形".
$(1)$操作判断
用分别含有$30^{\circ}$和$45^{\circ}$角的直角三角形纸板拼出如图$1$所示的$4$个四边形,其中是"等对角四边形"的有______(填序号).

$(2)$探究证明
如图$2$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$CD$为斜边$AB$上的中线,过点$D$作$DE\bot CD$交$AC$于点$E$,判断四边形$BCED$是否"等对角四边形",并说明理由.
$(3)$拓展延伸
如图$3$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$\angle A=30^{\circ}$,$AC=\sqrt{3}+1$,作角平分线$CD$,在边$AC$上取点$E$,使四边形$BCED$是"等对角四边形",请直接写出$AE$的长.