如图$1$,在平面直角坐标系中,抛物线$y=-x^{2}+bx+c$与直线$AB:y=2x+3$交于$A$、$C$两点,其中点$C$为$\left(-4,-5\right)$.
$(1)$求抛物线的表达式；
$(2)$如图$2$,点$P$是直线$AC$上方抛物线上一动点,点$M$为直线$x=-4$上一动点,$MN\bot y$轴于点$N$,连接$PM$、$PA$、$PC$,当$\triangle APC$的面积取得最大时,求$PM+MN+NO$的最小值；
$(3)$如图$3$,将抛物线沿着水平方向平移,使得新抛物线经过点$E\left(-3,3\right)$,交$x$轴于点$O$,点$Q$为平移后新抛物线上一动点,当$\angle BEO=\angle QEA$时,直接写出所有符合条件的点$Q$的坐标.