已知:如图,在平面直角坐标系中,点$A$,$C$分别为坐标轴$x$轴,$y$轴上的点,且$OA \gt OC$,$AB$是$\triangle OAC$的角平分线.
$(1)$如图$1$,在$x$轴负半轴上有一点$M$,$\angle COM$的平分线与$AB$的延长线交于点$P$,连$OP$.
①证:$\angle ACO=2\angle P$.
②若点$A\left(x,0\right)$,$C\left(0,y\right)$满足$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y=48}\\{7x-6y=20}\end{array}\right.$,且$AC=OA+2$,求点$P$的坐标.
$(2)$如图$2$,点$D$为线段$OA$上的一点,点$G$为线段$AC$上的一点,且$BD=BG$,将$\triangle DOB$沿直线$BD$折叠,折叠后的三角形中,$OD$对应边的延长线交$AC$于$H$点（点$H$在线段$CG$上）,求$\frac{DH+GH}{OD}$的值.
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