在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=BC$,$BC$绕点$C$顺时针旋转角度$\alpha \left(0^{\circ} \lt a \lt 360^{\circ}\right)$得到$DC$.

$(1)$如图$1$,若$\alpha =30^{\circ}$,连接$AD$交$BC$于点$E$,若$AC=6$,求$DE$的长；
$(2)$如图$2$,若$0^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 90^{\circ}$,$CF$平分$\angle BCD$交$AD$于点$F$,连接$BF$,过点$C$作$CG\bot AD$,在射线$CG$上取点$G$使得$\angle BGC=45^{\circ}$,连接$BG$,请用等式表示线段$CG$、$CF$、$BF$之间的数量关系并证明；
$(3)$如图$3$,若$BC=8$,点$P$是线段$AB$上一动点,将$CP$绕点$P$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$QP$,连接$AQ$,$M$为$AQ$的中点,当$2CM+CQ$取得最小值时,请直接写出$\triangle ABM$的面积.