如图$1$,抛物线$y=ax^{2}+x+c\left(a\neq 0\right)$与$x$轴交于$A\left(-2,0\right)$,$B\left(6,0\right)$两点,与$y$轴交于点$C$,点$P$是第一象限内抛物线上的一个动点,过点$P$作$PD\bot x$轴,垂足为$D$,$PD$交直线$BC$于点$E$,设点$P$的横坐标为$m$.
$(1)$求抛物线的表达式；
$(2)$如图$2$,过点$P$作$PF\bot CE$,垂足为$F$,求$\triangle PEF$周长的最大值；
$(3)$如图$3$,连接$CP$,当四边形$OCPD$是矩形时,在抛物线的对称轴上存在点$Q$,使原点$O$关于直线$CQ$的对称点${O\’}$恰好落在该矩形对角线所在的直线上,请直接写出满足条件的点$Q$的坐标.