小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以$150$米$/$分的速度骑行一段时间，休息了$5$分钟，再以$m$米$/$分的速度骑行直到到达图书馆．小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程$y($米$)$与时间$x($分钟$)$的关系如图所示．

请结合图象，解答下列问题：

$(1)a=$________，$m=$________；

$(2)$若小军的速度是$120$米$/$分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，与图书馆之间的距离；

$(3)$在$(2)$的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距$100$米？

$(4)$若小军的行驶速度是$v$米$/$分，且在途中与爸爸恰好相遇两次$($不包括家、图书馆两地$)$，请直接写出$v$的取值范围．