如图,抛物线$y=ax^{2}+bx+c$与$x$轴的一个交点为$A\left(-1,0\right)$,与$y$轴的交点$B$在点$\left(0,-2\right)$与点$\left(0,-3\right)$之间（包含端点),顶点$D$的坐标为$\left(1,n\right)$.则下列结论:①$3a+c=0$；②$\frac{2}{3} \lt a \lt 1$:③对于任意实数$m$,$a+b\leqslant am^{2}+bm$总成立；④关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=n+1$没有实数根.其中结论正确的个数为（ ）