综合与实践
如图$1$,已知正方形纸片$ABCD$.
实践操作
第一步:如图$1$,将正方形纸片$ABCD$沿$AC$,$BD$分别折叠.然后展平,得到折痕$AC$,$BD$.折痕$AC$,$BD$相交于点$O$.
第二步:如图$2$,将正方形$ABCD$折叠,使点$B$的对应点$E$恰好落在$AC$上,得到折痕$AF$,$AF$与$BD$相交于点$G$,然后展平,连接$GE$,$EF$.

问题解决
$(1)\angle AGD$的度数是______；
$(2)$如图$2$,请判断四边形$BGEF$的形状,并说明理由；
探索发现
$(3)$如图$3$,若$AB=1$,将正方形$ABCD$折叠,使点$A$和点$F$重合,折痕分别与$AB$,$DC$相交于点$M$,$N$.求$MN^{2}$的值.