【问题提出】在$2020$年抗击新冠肺炎的斗争中，某中学响应政府“停课不停学”的号召进行线上学习，七年级一班的全体同学在自主完成学习任务的同时，全班每两个同学都通过一次视频电话，彼此关怀，互相勉励，共同提高，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，如何求全班$50$名同学共通过多少次电话呢？
【模型构建】用点$M_{1}$、$M_{2}$、$M_{3}$、…、$M_{50}$分别表示第$1$、$2$、$3$、…、$50$名同学，把该班级人数$n$与视频通话次数$S$之间的关系用如图模型表示：

【问题解决】
$(1)$填写如图中第$5$个图中$S$的值为 ______.
$(2)$通过探索发现，通电话次数$S$与该班级人数$n$之间的关系式为 ______，则当$n=50$时，对应的$S=$______.
$(3)$若该班全体女生相互之间共通话$190$次，求该班共有多少名女生？
【问题拓展】
$(4)$若该班数学兴趣小组的同学，每两位同学之间互发一条微信问候，小明统计全组共发送微信$110$条，则该班数学兴趣小组的人数是 ______人．