王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前,先让小明看了一个有解答过程的例题.
例:若$m^{2}+2mn+2n^{2}-6n+9=0$,求$m$和$n$的值.
解:$m^{2}+2mn+2n^{2}-6n+9=0$,
$\therefore m^{2}+2mn+n^{2}+n^{2}-6n+9=0$.
即$\left(m+n\right)^{2}+\left(n-3\right)^{2}=0$,
$\therefore m+n=0$,$n-3=0$,
$\therefore m=-3$,$n=3$.
为什么要对$2n^{2}$进行了拆项呢?聪明的小明理解了例题解决问题的方法,很快解决了下面两个问题.相信你也能很好的解决下面的这两个问题,请写出你的解题过程.
$(1)$若$x^{2}-4xy+5y^{2}+2y+1=0$,求$xy$的值；
$(2)$已知$a$、$b$、$c$是等腰$\triangle ABC$的三边长,且满足$a^{2}-10a+b^{2}-12b+61=0$,求此三角形的周长.