在数轴上,$O$为原点,点$A$、$B$、$C$分别表示数$a$,$b$,$c$,且满足$|b+2|+\left(c-24\right)^{2}=0$,多项式$x^{a+9}y^{2}-ax^{2}y+xy^{2}-1$是五次四项式.
$(1)a+b+c$的值为______；
$(2)$若数轴上有三个动点$M$、$N$、$P$,分别从点$A$、$B$、$C$开始同时出发在数轴上运动,速度分别为每秒$1$个单位长度、$7$个单位长度和$3$个单位长度.
①若点$P$向左运动,点$M$向右运动,点$N$先向左运动,遇到点$M$后回头再向右运动,遇到点$P$后又回头再向左运动,$\ldots$,这样直到点$P$遇到点$M$时三点都停止运动,求点$N$所走的路程；
②若点$M$、$N$向右运动,点$P$向左运动,点$Q$为线段$PN$的中点,设运动的时间为$t$秒,在运动过程中,是否存在常数$k$,使得不论$t$为何值；$OQ-kMN$的值不变,若存在,求$k$的值,若不存在,请说明理由.