阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：

解方程组$\left\{\begin{matrix}14x+15y=16\;\;①,\\ 17x+18y=19\;\;②\\\end{matrix}\right.$时，由于$x$，$y$的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入法，加减法来解，计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：

②$-$①得$3x+3y=3$，$\therefore x+y=1\,\,\,\,$③，

③$\times 14$得$14x+14y=14\,\,\,\,$④，

①$-$④得$y=2$，从而得$x=-1.$

$\therefore$原方程组的解是$\left\{\begin{array}{l}x=-1,\\ y=2.\\\end{array}\right.$

$(1)$请你运用上述方法解方程组$\left\{\begin{array}{l}2015x+2016y=2017,\\ 2018x+2019y=2020.\\\end{array}\right.$

$(2)$请你直接写出方程组$\left\{\begin{array}{l}998x+999y=1000,\\ 9998x+9999y=10000\\\end{array}\right.$的解是__________.

$(3)$猜测关于$x$，$y$的方程组$\left\{\begin{array}{l}mx+(m+1)y=m+2,\\ nx+(n+1)y=n+2\\\end{array}\right.(m\neq n)$的解是什么，并用方程组的解加以验证.