已知点$A\left(a,b\right)$是平面直角坐标系中一点,且$\sqrt{a+4}+{b}^{2}-8b+16=0$,点$B\left(x,y\right)$是平面内一动点,$\triangle ABC$是以$AB$为斜边的等腰直角三角形（点$A$、$B$、$C$逆时针排列).
$(1)$直接写出点$A$的坐标:$A$______；
$(2)$如图$1$,当点$B$位于$x$轴正半轴上且$\angle ABO=30^{\circ}$,求$\triangle ABC$的面积；
$(3)$如图$2$,点$B$在第二象限内运动,且$-4 \lt x \lt 0$,$0 \lt y \lt 4$,$AH\bot x$轴于点$H$,点$G$是$OB$的中点.证明:$CG\bot HG$.