定义:如果关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a$,$b$,$c$均为常数,$a\neq 0)$有两个实数根,且其中一个根比另一个根大$1$,则称这样的方程为"邻根方程".
$(1)$下列方程中,是"邻根方程"的是______$(填序号)$.
①$x^{2}+x=0$；②$x^{2}-2x+1=0$；③$x^{2}+3x+2=0$.
$(2)$若$\left(x-2\right)\left(x+n\right)=0$是"邻根方程",求$n$的值.
$(3)$若一元二次方程$x^{2}+bx+c=0(b$,$c$均为常数）为"邻根方程",直接写出$b$,$c$满足的数量关系.