定义：如图$1$，已知锐角$∠AOB$内有定点$P$，过点$P$任意作一条直线$MN$，分别交射线$OA$，$OB$于点$M$，$N.$若$P$是线段$MN$的中点时，则称直线$MN$是$∠AOB$的中点直线．如图$2$，射线$OQ$的解析式为$y=2x(x\geqslant 0)$与$x$轴的夹角为$∠α$，$P\:(3 , 1)$，$MN$为$∠α$的中点直线．

$(1)$求直线$MN$的解析式；
$(2)$若过点$P$任意作一条直线$EF$，分别交射线$OQ$，$x$轴的正半轴于点$E$，$F$，记$\triangle MON$的面积为$S _{\triangle MON}$，$\triangle EOF$的面积为$S _{\triangle EOF} .$求证：$S _{\triangle MON} \leqslant S _{\triangle EOF}$．