在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：
①画线段$AB$；
②分别以点$A$，$B$为圆心，大于$AB$长的一半为半径作弧，两弧相交于$M$、$N$两点，作直线$MN$交$AB$于点$O$；
③在直线$MN$上取一点$C($不与点$O$重合$)$，连接$AC$、$BC$；
④过点$A$作平行于$BC$的直线$AD$，交直线$MN$于点$D$，连接$BD.$
$(1)$根据以上作法，证明四边形$ADBC$是菱形；
$(2)$该同学在图形上继续探究，他以点$O$为圆心作四边形$ADBC$的内切圆，构成如图所示的阴影部分，若$AB=2\sqrt{3}$，$∠BAD=30°$，求图中阴影部分的面积.