如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=kx+b\left(k\neq 0\right)$的图象经过点$A\left(-1,0\right)$,且与函数$y=2x$的图象交于点$B\left(1,m\right)$.
$(1)$求$m$的值及一次函数$y=kx+b\left(k\neq 0\right)$的表达式；
$(2)$当$x \gt 1$时,对于$x$的每一个值,函数$y=-x+n$的值小于一次函数$y=kx+b\left(k\neq 0\right)$的值,直接写出$n$的取值范围.