如图$1$,已知直线$y=-3x+6$与$x$轴、$y$轴交于$A$、$B$两点,过点$B$的直线$y=x+6$与$x$轴交于点$C$,经过原点的直线$y=mx$,与直线$AB$,$BC$分别交于点$E$、$F$.
$(1)$如图$1$,若$S_{\triangle BOE}=S_{\triangle BOF}$,求直线$EF$的表达式；
$(2)$如图$2$,若直线$AB$与直线$EF$的夹角$\angle BEF=45^{\circ}$,求$m$的值；
$(3)$如图$3$,将（1）中直线$EF$向上平行移动后经过点$B$,与$x$轴交于点$G$,设$H$为线段$BG$上一点（含端点）,连接$AH$,一动点$M$从点$A$出发,沿线段$AH$运动到$H$,再沿线段$HB$运动到$B$后停止,若点$M$在$AH$上的速度为每秒$1$个单位,在$HB$上的速度为每秒$\sqrt{2}$个单位,当点$H$的坐标是多少时,点$M$在整个运动过程中用时最少?