已知,在正方形$ABCD$中,点$E$、$F$分别在边$CD$和$AD$上,连接$AE$、$BF$交于点$G$,$AF=DE$.
$(1)$如图$1$,求证:$\angle AGF=90^{\circ}$；
$(2)$如图$2$,若点$E$为$CD$的中点,求证:$AG=2GF$；
$(3)$如图$3$,在（2）的条件下,连接$BD$交$AE$于点$H$,$\angle BGE$的平分线交$BD$于点$M$,过点$M$作$MN$∥$AE$交$CD$于点$N$,若$AB=6$,求$MN$的长.